미적분 예제

$f (x) = \ln (\frac{x^{2} - 7}{x})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x^{2} - 7}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x^{2} - 7}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x^{2} - 7}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

단계 2

$\frac{x^{2} - 7}{x}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

단계 3

$\frac{x}{x^{2} - 7}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

단계 4

$f (x) = x^{2} - 7$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 7] - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.3

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 11

분수를 통분합니다.

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단계 11.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$

단계 11.2

$\frac{x}{x^{2} - 7}$ 에 $\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{(x^{2} - 7) x^{2}}$

단계 12

공약수로 약분합니다.

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단계 12.1

$(x^{2} - 7) x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

단계 12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

단계 12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{(x^{2} - 7) x}$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{(x^{2} - 7) x}$

단계 13.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{x^{2} x - 7 x}$

단계 13.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 13.3.1

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

단계 13.3.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

단계 13.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 13.4.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 13.4.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x^{1} - 7 x}$

단계 13.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2 + 1} - 7 x}$

단계 13.4.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 7}{x^{3} - 7 x}$

단계 13.5

$x^{3} - 7 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 13.5.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} - 7 x}$

단계 13.5.2

$- 7 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 7}$

단계 13.5.3

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 7$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} + 7}{x (x^{2} - 7)}$