미적분 예제

$f (x) = x \ln (1 + x^{2})$

단계 1

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (1 + x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 1 + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{x}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{x}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{1 + x^{2}} (2 x) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.6

분수를 통분합니다.

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단계 3.6.1

$2$ 와 $\frac{x}{1 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{1 + x^{2}} x + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.6.2

$\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x \cdot x}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \cdot 1$

단계 9

$\ln (1 + x^{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2})$

단계 10

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (1 + x^{2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\ln (1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

단계 11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) \cdot 1 + \ln (1 + x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

단계 12.1.1.2

$\ln (1 + x^{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

단계 12.1.2

$2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2}) x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + x^{2} \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

단계 12.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x^{2} + x^{2} \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$