미적분 예제

$f (x) = \ln (\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

단계 2

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

단계 3

$\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

단계 4

$\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 을 $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 로 변환합니다.

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

단계 5

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = \frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ 로 바꿉니다.

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

단계 5.2

$\tan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{2})$ 입니다.

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ 로 바꿉니다.

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ 가 됩니다.

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

단계 6.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

단계 6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

단계 6.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

단계 6.5

$\frac{π}{4}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{π}{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + 0)$

단계 6.6

분수를 통분합니다.

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단계 6.6.1

$\frac{1}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{1}{2}$

단계 6.6.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 을 묶습니다.

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$

단계 6.6.3

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$ 와 $\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 을 묶습니다.

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

단계 7.1.2

$\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})})}^{2}}{2}$

단계 7.1.3

$\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

단계 7.1.4

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.4.1

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 에서 $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

단계 7.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

단계 7.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

단계 7.1.5

$\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 에 $\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

단계 7.1.6

분수를 나눕니다.

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

단계 7.1.7

$\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 을 $\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 로 변환합니다.

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

단계 7.1.8

분수를 나눕니다.

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

단계 7.1.9

$\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 을 $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 로 변환합니다.

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

단계 7.1.10

$1^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1^{2} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

단계 7.1.11

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1 \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

단계 7.1.12

$\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

단계 7.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$