미적분 예제

$y = (x^{2} + \sin (x)) \sec (x)$

단계 1

$f (x) = x^{2} + \sin (x)$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (x)]$

단계 2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$(x^{2} + \sin (x)) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (x)]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 가 됩니다.

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} \sec (x) + \sin (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x) + \sec (x) \cos (x)$

단계 5.4

항을 다시 정렬합니다.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$x^{2} \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.2

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.3

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.4

조합합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.5.5.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.5.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.5.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.6

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.8

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.9

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 5.5.9.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.9.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.9.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.9.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.9.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.9.6

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.9.7

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.9.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.9.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.10

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 x \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.11

$2 x \frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 5.5.11.1

$2$ 와 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + x \frac{2}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.11.2

$x$ 와 $\frac{2}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{x \cdot 2}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.12

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \cdot x}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

단계 5.5.13

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

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단계 5.5.13.1

$\cos (x)$ 와 $\sec (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + \sec (x) \cos (x)$

단계 5.5.13.2

$\cos (x) \sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)$

단계 5.5.13.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

단계 5.6.2

분수를 나눕니다.

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

단계 5.6.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

단계 5.6.4

분수를 나눕니다.

$\frac{x^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

단계 5.6.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{x^{2}}{1} \sec (x) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

단계 5.6.6

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

단계 5.6.7

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 을 $\tan^{2} (x)$ 로 변환합니다.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

단계 5.7

$1$ 를 옮깁니다.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 + \frac{2 x}{\cos (x)}$

단계 5.8

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)}$