미적분 예제

$y = (\sqrt[5]{x} - 2 \sqrt[4]{x} + 1) (x^{3} - 5 x - 7)$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{5}} - 2 \sqrt[4]{x} + 1) (x^{3} - 5 x - 7)]$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (x^{3} - 5 x - 7)]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1$ , $g (x) = x^{3} - 5 x - 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x - 7] + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 5 x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

단계 3.3

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

단계 3.5

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

단계 3.6

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 + 0) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

단계 3.7

$3 x^{2} - 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

단계 3.8

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.9

$n = \frac{1}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 7.2

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 8.2

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{- \frac{4}{5}}$ 을 묶습니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{4}{5}}$ 를 분모로 이동합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 9

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{\frac{1}{4}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ 입니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 10

$n = \frac{1}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [1])$

단계 11

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

단계 12

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

단계 13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

단계 14

분자를 간단히 합니다.

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단계 14.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

단계 14.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

단계 15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

단계 16

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{- \frac{3}{4}}$ 을 묶습니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [1])$

단계 17

$- 2$ 와 $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ 을 묶습니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [1])$

단계 18

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 2}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

단계 19

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

단계 20

공약수로 약분합니다.

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단계 20.1

$4 x^{\frac{3}{4}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})} + \frac{d}{d x} [1])$

단계 20.2

공약수로 약분합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})} + \frac{d}{d x} [1])$

단계 20.3

수식을 다시 씁니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

단계 21

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

단계 22

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}} + 0)$

단계 23

식을 간단히 합니다.

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단계 23.1

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}})$

단계 23.2

항을 다시 정렬합니다.

$(3 x^{2} - 5) (x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}})$