미적분 예제

$y = (x^{3} + 1) \ln (x^{3} + 1)$

단계 1

$f (x) = x^{3} + 1$ , $g (x) = \ln (x^{3} + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 1)] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{3} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$(x^{3} + 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$(x^{3} + 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$(x^{3} + 1) (\frac{1}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + 0) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 3.4

분수를 통분합니다.

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단계 3.4.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2}) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 3.4.2

$3$ 와 $\frac{1}{x^{3} + 1}$ 을 묶습니다.

$(x^{3} + 1) \frac{3}{x^{3} + 1} x^{2} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 3.4.3

$x^{2}$ 와 $\frac{3}{x^{3} + 1}$ 을 묶습니다.

$(x^{3} + 1) \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 3.4.4

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$(x^{3} + 1) \frac{3 \cdot x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 3.5

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0)$

단계 3.8

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2})$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1^{3}} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

단계 4.2.1.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

단계 4.2.1.3

간단히 합니다.

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단계 4.2.1.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

단계 4.2.1.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

단계 4.2.2

$x^{3} + 1$ 에 $\frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2})}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

단계 4.2.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.3.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x^{3} + 1^{3}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

단계 4.2.3.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

단계 4.2.3.3

간단히 합니다.

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단계 4.2.3.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

단계 4.2.3.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

단계 4.2.4

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

단계 4.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{x^{2} - x + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

단계 4.2.5

$x^{2} - x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{x^{2} - x + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

단계 4.2.5.2

$3 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x^{2} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$