미적분 예제

$y = (4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}}$

단계 1

$f (x) = 4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6$ , $g (x) = e^{x^{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 3.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 3.5

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 3.6

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 3.8

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 3.9

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 3.11

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 3.12

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 + 0)$

단계 3.13

$12 x^{2} - 4 x + 8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(4 x^{3} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}}) (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{3} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{3} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4

항을 묶습니다.

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단계 4.4.1

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} e^{x^{3}} x^{2} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.2

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$12 (x^{2} x^{3}) e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{2 + 3} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.2.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.3

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{2} e^{x^{3}} x^{2} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 (x^{2} x^{2}) e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{2 + 2} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.4.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.5

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x e^{x^{3}} x^{2} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.6.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 (x^{2} x) e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.6.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 (x^{2} x^{1}) e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{2 + 1} e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.6.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.7

$3$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 e^{x^{3}} x^{2} + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

단계 4.4.8

$e^{x^{3}}$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 e^{x^{3}} x^{2} + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 \cdot e^{x^{3}}$

단계 4.4.9

$e^{x^{3}}$ 를 옮깁니다.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 x^{2} e^{x^{3}} + 12 x^{2} e^{x^{3}} + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 e^{x^{3}}$

단계 4.4.10

$- 18 x^{2} e^{x^{3}}$ 를 $12 x^{2} e^{x^{3}}$ 에 더합니다.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 6 x^{2} e^{x^{3}} + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 e^{x^{3}}$

단계 4.5

항을 다시 정렬합니다.

$12 e^{x^{3}} x^{5} - 6 e^{x^{3}} x^{4} + 24 e^{x^{3}} x^{3} - 6 e^{x^{3}} x^{2} - 4 e^{x^{3}} x + 8 e^{x^{3}}$