미적분 예제

$y = (- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 3 x^{2} + 2)$

단계 1

$f (x) = - 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4$ , $g (x) = - 3 x^{2} + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 2] + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 3 x^{2} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

단계 2.2

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

단계 2.4

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

단계 2.5

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x + 0) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

단계 2.6

$- 6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.8

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{4}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.9

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.10

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.11

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.12

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.13

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.14

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x + 0)$

단계 2.15

$- 8 x^{3} + 10 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x)$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3}) + (- 3 x^{2} + 2) (10 x)$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) + (- 3 x^{2} + 2) (10 x)$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5

항을 묶습니다.

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단계 3.5.1

$- 6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$12 x^{4} x + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 (x^{1} x^{4}) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{1 + 4} + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.4

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$12 x^{5} + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.5

$- 6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} - 30 x^{2} x + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 x^{5} - 30 (x^{1} x^{2}) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{5} - 30 x^{1 + 2} + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.8

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$12 x^{5} - 30 x^{3} + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.9

$- 6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.10

$- 8$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{2} x^{3} + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.11

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.11.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 (x^{3} x^{2}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.11.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{3 + 2} + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.11.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.12

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

단계 3.5.13

$10$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{2} x + 2 (10 x)$

단계 3.5.14

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 (x^{1} x^{2}) + 2 (10 x)$

단계 3.5.15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{1 + 2} + 2 (10 x)$

단계 3.5.16

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{3} + 2 (10 x)$

단계 3.5.17

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{3} + 20 x$

단계 3.5.18

$- 16 x^{3}$ 에서 $30 x^{3}$ 을 뺍니다.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 46 x^{3} + 20 x$

단계 3.5.19

$12 x^{5}$ 를 $24 x^{5}$ 에 더합니다.

$36 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x - 46 x^{3} + 20 x$

단계 3.5.20

$- 30 x^{3}$ 에서 $46 x^{3}$ 을 뺍니다.

$36 x^{5} - 76 x^{3} - 24 x + 20 x$

단계 3.5.21

$- 24 x$ 를 $20 x$ 에 더합니다.

$36 x^{5} - 76 x^{3} - 4 x$