미적분 예제

$y = {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{4}$

단계 1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = (x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

단계 1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ 로 바꿉니다.

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

단계 2

$f (x) = x - 2 x^{3}$ , $g (x) = 6 x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [6 x - 3] + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $6 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

단계 3.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

단계 3.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

단계 3.5

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 + 0) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) \cdot 6 + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

단계 3.6.2

$x - 2 x^{3}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 \cdot (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $x - 2 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 가 됩니다.

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]))$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]))$

단계 3.9

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{3}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]))$

단계 3.10

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 2 (3 x^{2})))$

단계 3.11

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 ({(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3}) (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 ({(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3}) (6 x + 6 (- 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

단계 4.3

$- 2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$4 {(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

단계 4.4

$4 {(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$4 {(6 x - 3)}^{3} {(x - 2 x^{3})}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$