미적분 예제

$y = (4 x^{2} - x + 4) (4 - 5 x - 2 x^{2})$

단계 1

$f (x) = 4 x^{2} - x + 4$ , $g (x) = 4 - 5 x - 2 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{2} - x + 4) \frac{d}{d x} [4 - 5 x - 2 x^{2}] + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 - 5 x - 2 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 가 됩니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

단계 2.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 에 더합니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

단계 2.4

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

단계 2.6

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

단계 2.7

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

단계 2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 2 (2 x)) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

단계 2.9

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

단계 2.10

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} - x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.11

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.12

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.13

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.14

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.16

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1 + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.17

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1 + 0)$

단계 2.18

$8 x - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x)) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.1.2

$(4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x)) + 1 ((4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1))$

단계 3.1.3

$1 ((4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x)) + 1 ((4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1))$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1))$

단계 3.2

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.3

항을 다시 정렬합니다.

$(- 5 - 4 x) (4 x^{2} - x + 4) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(- 5 - 4 x) (4 x^{2} - x + 4)$ 를 전개합니다.

$- 5 (4 x^{2}) - 5 (- x) - 5 \cdot 4 - 4 x (4 x^{2}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$4$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 20 x^{2} - 5 (- x) - 5 \cdot 4 - 4 x (4 x^{2}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2.2

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 20 x^{2} + 5 x - 5 \cdot 4 - 4 x (4 x^{2}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2.3

$- 5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 x (4 x^{2}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 (x^{2} x) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2.5.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 x^{2 + 1} - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2.5.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 x^{3} - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2.6

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 4 \cdot - 1 x \cdot x - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2.8

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.8.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 4 \cdot - 1 (x \cdot x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2.8.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 4 \cdot - 1 x^{2} - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2.9

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.2.10

$4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} + 4 x^{2} - 16 x + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.3

$- 20 x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$- 16 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 16 x + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.4

$5 x$ 에서 $16 x$ 을 뺍니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

단계 3.4.5

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$ 를 전개합니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 4 (8 x) + 4 \cdot - 1 - 5 x (8 x) - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot - 1 - 5 x (8 x) - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 5 x (8 x) - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 5 \cdot 8 x \cdot x - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 5 \cdot 8 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 5 \cdot 8 x^{2} - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6.5

$- 5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6.6

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6.8

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.8.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6.8.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.8.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6.8.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6.9

$- 2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 16 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1$

단계 3.4.6.10

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 16 x^{3} + 2 x^{2}$

단계 3.4.7

$32 x$ 를 $5 x$ 에 더합니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 37 x - 4 - 40 x^{2} - 16 x^{3} + 2 x^{2}$

단계 3.4.8

$- 40 x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 37 x - 4 - 16 x^{3} - 38 x^{2}$

단계 3.5

$- 16 x^{2}$ 에서 $38 x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 54 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 37 x - 4 - 16 x^{3}$

단계 3.6

$- 11 x$ 를 $37 x$ 에 더합니다.

$- 54 x^{2} + 26 x - 20 - 16 x^{3} - 4 - 16 x^{3}$

단계 3.7

$- 20$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- 54 x^{2} + 26 x - 16 x^{3} - 24 - 16 x^{3}$

단계 3.8

$- 16 x^{3}$ 에서 $16 x^{3}$ 을 뺍니다.

$- 54 x^{2} + 26 x - 32 x^{3} - 24$