미적분 예제

$y = (5 x^{4} - x + 4) (- x^{5} + 2)$

단계 1

$f (x) = 5 x^{4} - x + 4$ , $g (x) = - x^{5} + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{4} - x + 4) \frac{d}{d x} [- x^{5} + 2] + (- x^{5} + 2) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 4]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- x^{5} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [2]) + (- x^{5} + 2) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 4]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{5}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2]) + (- x^{5} + 2) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 4]$

단계 2.3

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2]) + (- x^{5} + 2) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 4]$

단계 2.4

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [2]) + (- x^{5} + 2) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 4]$

단계 2.5

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- 5 x^{4} + 0) + (- x^{5} + 2) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 4]$

단계 2.6

$- 5 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 2) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 4]$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $5 x^{4} - x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 2) (\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.8

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{4}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 2) (5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.9

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 2) (5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.10

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 2) (20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.11

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 2) (20 x^{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 2) (20 x^{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.13

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 2) (20 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.14

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 2) (20 x^{3} - 1 + 0)$

단계 2.15

$20 x^{3} - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(5 x^{4} - x + 4) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 2) (20 x^{3} - 1)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 4 (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 2) (20 x^{3} - 1)$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 4 (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 2) (20 x^{3}) + (- x^{5} + 2) \cdot - 1$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 4 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 2 (20 x^{3}) + (- x^{5} + 2) \cdot - 1$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 4 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5

항을 묶습니다.

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단계 3.5.1

$- 5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 25 x^{4} x^{4} - x (- 5 x^{4}) + 4 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.2

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.2.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$- 25 (x^{4} x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 4 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 25 x^{4 + 4} - x (- 5 x^{4}) + 4 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.2.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 25 x^{8} - x (- 5 x^{4}) + 4 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.3

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 25 x^{8} + 5 x \cdot x^{4} + 4 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.4.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$- 25 x^{8} + 5 (x^{4} x) + 4 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.4.2

$x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 25 x^{8} + 5 (x^{4} x^{1}) + 4 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 25 x^{8} + 5 x^{4 + 1} + 4 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.4.3

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} + 4 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.5

$- 5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 20 x^{4} - x^{5} (20 x^{3}) + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.6

$20$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 20 x^{4} - 20 x^{5} x^{3} + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.7

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.7.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 20 x^{4} - 20 (x^{3} x^{5}) + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 20 x^{4} - 20 x^{3 + 5} + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.7.3

$3$ 를 $5$ 에 더합니다.

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 20 x^{4} - 20 x^{8} + 2 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.8

$20$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 20 x^{4} - 20 x^{8} + 40 x^{3} - x^{5} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 20 x^{4} - 20 x^{8} + 40 x^{3} + 1 x^{5} + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.10

$x^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 20 x^{4} - 20 x^{8} + 40 x^{3} + x^{5} + 2 \cdot - 1$

단계 3.5.11

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 20 x^{4} - 20 x^{8} + 40 x^{3} + x^{5} - 2$

단계 3.5.12

$- 25 x^{8}$ 에서 $20 x^{8}$ 을 뺍니다.

$- 45 x^{8} + 5 x^{5} - 20 x^{4} + 40 x^{3} + x^{5} - 2$

단계 3.5.13

$5 x^{5}$ 를 $x^{5}$ 에 더합니다.

$- 45 x^{8} + 6 x^{5} - 20 x^{4} + 40 x^{3} - 2$