미적분 예제

$\tan (x) (4 \sin (x) + 5 \cos (x))$

단계 1

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\tan (x) \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 5 \cos (x)] + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \sin (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$\tan (x) (4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\tan (x) (4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \cos (x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 (- \sin (x))) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 6

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 7

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

단계 8.3

$\tan (x)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 \tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

단계 8.4

항을 다시 정렬합니다.

$4 \cos (x) \tan (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.5.1

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

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단계 8.5.1.1

괄호를 표시합니다.

$4 (\cos (x) \tan (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.1.2

$\cos (x)$ 와 $\tan (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$4 (\tan (x) \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.1.3

$4 \cos (x) \tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.1.4

공약수로 약분합니다.

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.2

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.3

$- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 8.5.3.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 와 $- 5$ 을 묶습니다.

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.3.2

$\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.3.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.3.4

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.5

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.6

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.8

$4$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.9

$\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 8.5.10

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

단계 8.5.11

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

단계 8.5.12

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

단계 8.5.13

$5$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

단계 8.5.14

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.5.14.1

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

단계 8.5.14.2

공약수로 약분합니다.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

단계 8.5.14.3

수식을 다시 씁니다.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x)}$

단계 8.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x) + 5}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.7

$- 5 \sin^{2} (x)$ 와 $5$ 을 다시 정렬합니다.

$4 \sin (x) + \frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.8

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.9

$- 5 \sin^{2} (x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.10

$5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$4 \sin (x) + \frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.11

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.12

$\cos^{2} (x)$ 및 $\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.12.1

$5 \cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.12.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.12.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos (x)}{1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.12.2.4

$5 \cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.13

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.13.1

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

단계 8.13.2

분수를 나눕니다.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 8.13.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \tan (x)$

단계 8.13.4

분수를 나눕니다.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

단계 8.13.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \sec (x) \tan (x)$

단계 8.13.6

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + 4 \sec (x) \tan (x)$