미적분 예제

$x \cdot \sqrt{8 x - x^{2}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{8 x - x^{2}}$ 을(를) ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 8 x - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $8 x - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $8 x - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$x (\frac{{(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x (\frac{1}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.4

$\frac{1}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}] + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 9

합의 법칙에 의해 $8 x - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 10

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 12

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 13

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 14

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - (2 x)) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 15

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 16

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

단계 17

${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 18

간단히 합니다.

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단계 18.1

항을 다시 정렬합니다.

$(8 - 2 x) \frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 18.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 18.2.1

$8 - 2 x$ 에 $\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(8 - 2 x) x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 18.2.2

$(8 - 2 x) x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 18.2.3

공약수로 약분합니다.

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단계 18.2.3.1

$2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 ({(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 18.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 18.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(4 - x) x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 18.3

공통 분모를 가지는 분수로 ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(4 - x) x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(4 - x) x + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 18.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 x - x \cdot x + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 18.5.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 x - (x \cdot x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5.3

지수를 더하여 ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 18.5.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5.3.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5.3.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{1}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5.4

${(8 x - x^{2})}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{4 x - x^{2} + 8 x - x^{2}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5.5

$4 x$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} + 12 x - x^{2}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5.6

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 12 x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5.7

$- 2 x^{2} + 12 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 18.5.7.1

$- 2 x^{2}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- x) + 12 x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5.7.2

$12 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- x) + 2 x (6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5.7.3

$2 x (- x) + 2 x (6)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- x + 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.6

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- (x) + 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.7

$6$ 을 $- 1 (- 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.8

$- (x) - 1 (- 6)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- (x - 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.9

$- (x - 6)$ 을 $- 1 (x - 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x (- 1 (x - 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(2 x) (x - 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$