미적분 예제

$\ln (\csc (5 x))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \csc (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\csc (5 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\csc (5 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\csc (5 x)} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

단계 2

$\csc (5 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (5 x)}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

단계 3

$\frac{1}{\sin (5 x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

단계 4

$\sin (5 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

단계 5

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 5.2

$\csc (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 입니다.

$\sin (5 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 6.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \cdot 1)$

단계 6.4

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 5 \cot (5 x) \csc (5 x) \sin (5 x)$

단계 7.2

$\cot (5 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- 5 \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

단계 7.3

$- 5$ 와 $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

단계 7.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

단계 7.5

$\csc (5 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)} \sin (5 x)$

단계 7.6

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$ 을 곱합니다.

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단계 7.6.1

$\frac{1}{\sin (5 x)}$ 에 $\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

단계 7.6.2

$\sin (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

단계 7.6.3

$\sin (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)} \sin (5 x)$

단계 7.6.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{{\sin (5 x)}^{1 + 1}} \sin (5 x)$

단계 7.6.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

단계 7.7

$\sin (5 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.7.1

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

단계 7.7.2

$\sin^{2} (5 x)$ 에서 $\sin (5 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

단계 7.7.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

단계 7.7.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

단계 7.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

단계 7.9

분수를 나눕니다.

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

단계 7.10

$\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ 을 $\cot (5 x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{5}{1} \cot (5 x))$

단계 7.11

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (5 \cot (5 x))$

단계 7.12

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 5 \cot (5 x)$