미적분 예제

$\ln (\sec (\frac{2}{x}))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sec (\frac{2}{x})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sec (\frac{2}{x})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sec (\frac{2}{x})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sec (\frac{2}{x})} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

단계 2

$\sec (\frac{2}{x})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

단계 3

$\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

단계 4

$\cos (\frac{2}{x})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

단계 5

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = \frac{2}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{2}{x}$ 로 바꿉니다.

$\cos (\frac{2}{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

단계 5.2

$\sec (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 입니다.

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{2}{x}$ 로 바꿉니다.

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

단계 6.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

단계 6.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 (- x^{- 2}))$

단계 6.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 x^{- 2})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 \frac{1}{x^{2}})$

단계 7.2

항을 묶습니다.

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단계 7.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{- 2}{x^{2}}$

단계 7.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{2}{x^{2}})$

단계 7.2.3

$\cos (\frac{2}{x})$ 와 $\frac{2}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}})$

단계 7.2.4

$\sec (\frac{2}{x})$ 와 $\frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}})$

단계 7.2.5

$\tan (\frac{2}{x})$ 와 $\frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2))}{x^{2}}$

단계 7.2.6

$\cos (\frac{2}{x})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (2 \cdot \cos (\frac{2}{x})))}{x^{2}}$

단계 7.2.7

$\sec (\frac{2}{x})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (2 \cdot \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x}))}{x^{2}}$

단계 7.2.8

$\tan (\frac{2}{x})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

단계 7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$\tan (\frac{2}{x})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

단계 7.3.2

$\sec (\frac{2}{x})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

단계 7.3.3

지수를 묶습니다.

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단계 7.3.3.1

$2$ 와 $\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

단계 7.3.3.2

$\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ 에 $\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

단계 7.3.3.3

$\cos (\frac{2}{x})$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

단계 7.3.3.4

$\cos (\frac{2}{x})$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos^{1} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

단계 7.3.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{{\cos (\frac{2}{x})}^{1 + 1}} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

단계 7.3.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

단계 7.3.3.7

$\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ 와 $\cos (\frac{2}{x})$ 을 묶습니다.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

단계 7.3.4

공약수를 소거하여 수식 $\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 7.3.4.1

$2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})$ 에서 $\cos (\frac{2}{x})$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

단계 7.3.4.2

$\cos^{2} (\frac{2}{x})$ 에서 $\cos (\frac{2}{x})$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

단계 7.3.4.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

단계 7.3.4.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

단계 7.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- (\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

단계 7.5

조합합니다.

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cdot 1}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

단계 7.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

단계 7.7

분수를 나눕니다.

$- (\frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})})$

단계 7.8

$\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ 을 $\tan (\frac{2}{x})$ 로 변환합니다.

$- (\frac{2}{x^{2}} \tan (\frac{2}{x}))$

단계 7.9

$\frac{2}{x^{2}}$ 와 $\tan (\frac{2}{x})$ 을 묶습니다.

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x})}{x^{2}}$