미적분 예제

$\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

단계 2.1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

단계 2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

단계 2.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 입니다.

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \cos (x))$

단계 3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\csc (x) \cos (x) - 2 (\frac{1}{2}) (\sin (x) \cos (x))$

단계 3.5

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2}{2} (\sin (x) \cos (x))$

단계 3.6

$\sin (x)$ 와 $\frac{- 2}{2}$ 을 묶습니다.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2}{2} \cos (x)$

단계 3.7

$\frac{\sin (x) \cdot - 2}{2}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2 \cos (x)}{2}$

단계 3.8

$\sin (x)$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{2}$

단계 3.9

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.9.1

$- 2 \sin (x) \cos (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2}$

단계 3.9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.9.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 (1)}$

단계 3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- \sin (x) \cos (x)}{1}$

단계 3.9.2.4

$- \sin (x) \cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\csc (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$\cos (x) \csc (x) - \cos (x) \sin (x)$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

단계 4.2.2

$\cos (x)$ 와 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

단계 4.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$\cot (x) - \cos (x) \sin (x)$