미적분 예제

$\sin (\arctan (x))$

단계 1

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1

평면에 $(1, x)$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arctan (x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, x)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\arctan (x))$ 는 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}]$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 을(를) ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3

${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

단계 4

간단히 합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

단계 5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

단계 5.2

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

단계 6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 1 + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

단계 6.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

단계 6.3

$u$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

단계 7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

단계 8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

단계 9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

단계 10

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

단계 10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

단계 11

분수를 통분합니다.

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단계 11.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

단계 11.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

단계 11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

단계 11.4

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{1 + x^{2}}$

단계 12

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

단계 13

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

단계 14

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + x^{2}}$

단계 15

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{1 + x^{2}}$

단계 16

분수를 통분합니다.

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단계 16.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

단계 16.2

$- 2$ 와 $\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

단계 16.3

$\frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 17

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 18

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 19

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 20

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 21

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 22

공약수로 약분합니다.

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단계 22.1

$2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{1 + x^{2}}$

단계 22.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 22.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 23

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 24

공통 분모를 가지는 분수로 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 25

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 26

지수를 더하여 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 26.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 26.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 26.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 26.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{1} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 27

${(1 + x^{2})}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\frac{1 + x^{2} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 28

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{1 + 0}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 29

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

단계 30

$\frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 31

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

단계 32

지수를 더하여 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1 + x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 32.1

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1 + x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 32.1.1

$1 + x^{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}$

단계 32.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 32.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 32.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 32.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 33

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$