미적분 예제

$f (x) = (8 x + \sqrt{x}) (5 x^{2} + 3)$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 x^{2} + 3)]$

단계 2

$f (x) = 8 x + x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 5 x^{2} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3] + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.4

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.5

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x + 0) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$10 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.6.2

$8 x + x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$10 \cdot (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.8

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.10

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.11

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(10 (8 x) + 10 x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$10 (8 x) x + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3

항을 묶습니다.

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단계 11.3.1

$8$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$80 x \cdot x + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$80 (x^{1} x) + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$80 (x^{1} x^{1}) + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$80 x^{1 + 1} + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$80 x^{2} + 10 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$80 x^{2} + 10 x^{1 + \frac{1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.8

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{2 + 1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.10

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{3}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.4

항을 다시 정렬합니다.

$80 x^{2} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.5.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 를 전개합니다.

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단계 11.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$80 x^{2} + 5 x^{2} (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 3 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$80 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 8 + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$80 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 8 + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.5.2.1

$8$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.5.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.5.2.2.1

$5 x^{2}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.5.2.2.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.5.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.5.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + 5 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.5.2.3

$5$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{3}{2}} \frac{5}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.5.2.4

$x^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.5.2.5

$x^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.5.2.6

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.5.2.7

$3$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.6

$80 x^{2}$ 를 $40 x^{2}$ 에 더합니다.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 11.7

공통 분모를 가지는 분수로 $10 x^{\frac{3}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.8

$10 x^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.10.1

$5 x^{\frac{3}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ 에서 $5 x^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.10.1.1

$x^{\frac{3}{2}}$ 를 옮깁니다.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} + 10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.10.1.2

$5 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $5 x^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.10.1.3

$10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $5 x^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 5 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.10.1.4

$5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 5 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)$ 에서 $5 x^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1 + 2 \cdot 2)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.10.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1 + 4)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.10.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.10.4

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$120 x^{2} + \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$