미적분 예제

$f (x) = \frac{\cot (2 x)}{\csc (5 x)}$

단계 1

$\csc (5 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

단계 2

$\cot (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

단계 3

$\frac{1}{\sin (5 x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

단계 4

$\sin (5 x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{1}]$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sin (5 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

단계 5.2

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 을 $\cot (2 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d}{d x} [\cot (2 x) \sin (5 x)]$

단계 6

$f (x) = \cot (2 x)$ , $g (x) = \sin (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cot (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

단계 7

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\cot (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

단계 7.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\cot (2 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

단계 7.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\cot (2 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

단계 8

미분합니다.

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단계 8.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

단계 8.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

단계 8.3

식을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cot (2 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

단계 8.3.2

$\cot (2 x) \cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$5 \cdot (\cot (2 x) \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

단계 9

$f (x) = \cot (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 9.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 9.2

$\cot (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (u_{2})$ 입니다.

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 9.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 10

미분합니다.

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단계 10.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 10.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1)$

단계 10.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

항을 다시 정렬합니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

단계 11.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$\cot (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

단계 11.2.2

$5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 을 곱합니다.

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단계 11.2.2.1

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)} \cos (5 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

단계 11.2.2.2

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)}$ 와 $\cos (5 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5 \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

단계 11.2.3

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 \cdot \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

단계 11.2.4

$\csc (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2} \sin (5 x)$

단계 11.2.5

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

단계 11.2.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

단계 11.2.7

$- 2$ 와 $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

단계 11.2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

단계 11.2.9

$\sin (5 x)$ 와 $\frac{2}{\sin^{2} (2 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (5 x) \cdot 2}{\sin^{2} (2 x)}$

단계 11.2.10

$\sin (5 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

단계 11.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.3.1

분수를 나눕니다.

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

단계 11.3.2

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 을 $\cot (2 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

단계 11.3.3

$5 \cos (5 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

단계 11.3.4

$\sin^{2} (2 x)$ 에서 $\sin (2 x)$ 를 인수분해합니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin (2 x) \sin (2 x)}$

단계 11.3.5

분수를 나눕니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)})$

단계 11.3.6

$\frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

단계 11.3.7

$\sin (5 x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}))$

단계 11.3.8

간단히 합니다.

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단계 11.3.8.1

$\sin (5 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

단계 11.3.8.2

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ 을 $\csc (2 x)$ 로 변환합니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

단계 11.3.9

분수를 나눕니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

단계 11.3.10

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ 을 $\csc (2 x)$ 로 변환합니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

단계 11.3.11

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

단계 11.3.12

$2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x))$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.12.1

$\csc (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc (2 x)) \sin (5 x))$

단계 11.3.12.2

$\csc (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc^{1} (2 x)) \sin (5 x))$

단계 11.3.12.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 {\csc (2 x)}^{1 + 1} \sin (5 x))$

단계 11.3.12.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x))$

단계 11.3.13

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$