미적분 예제

$f (x) = {(5 x + 7)}^{2} (e^{x})$

단계 1

${(5 x + 7)}^{2}$ 을 $(5 x + 7) (5 x + 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(5 x + 7) (5 x + 7) e^{x}]$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(5 x + 7) (5 x + 7)$ 를 전개합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x + 7) + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

단계 3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

단계 3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

단계 3.1.3

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

단계 3.1.4

$7$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

단계 3.1.5

$5$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 7 \cdot 7) e^{x}]$

단계 3.1.6

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 49) e^{x}]$

단계 3.2

$35 x$ 를 $35 x$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x}]$

단계 4

$f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(25 x^{2} + 70 x + 49) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

단계 5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $25 x^{2} + 70 x + 49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49]$ 가 됩니다.

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

단계 6.2

$25$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $25 x^{2}$ 의 미분은 $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

단계 6.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

단계 6.4

$2$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

단계 6.5

$70$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $70 x$ 의 미분은 $70 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

단계 6.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

단계 6.7

$70$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + \frac{d}{d x} [49])$

단계 6.8

$49$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $49$ 입니다.

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + 0)$

단계 6.9

$50 x + 70$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + e^{x} \cdot 70$

단계 7.3

항을 묶습니다.

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단계 7.3.1

$e^{x}$ 의 왼쪽으로 $70$ 이동하기

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + 70 \cdot e^{x}$

단계 7.3.2

$70 x e^{x}$ 를 $e^{x} (50 x)$ 에 더합니다.

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단계 7.3.2.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 50 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

단계 7.3.2.2

$70 x e^{x}$ 를 $50 x e^{x}$ 에 더합니다.

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

단계 7.3.3

$49 e^{x}$ 를 $70 e^{x}$ 에 더합니다.

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$

단계 7.4

항을 다시 정렬합니다.

$25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$

단계 7.5

$25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$