미적분 예제

$\arccos (\sqrt{1 - x^{2}})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 을(를) ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\arccos ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (x) = \arccos (x)$ , $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$\arccos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 입니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{1}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4

간단히 합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 1 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 5.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 9

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 10

분수를 통분합니다.

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단계 10.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 10.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 10.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 10.4

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

단계 11

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 12

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 13

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 14

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 15

곱합니다.

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단계 15.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 15.2

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 16

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (2 x)$

단계 17

항을 간단히 합니다.

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단계 17.1

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} x$

단계 17.2

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

단계 17.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

단계 17.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

단계 18

간단히 합니다.

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단계 18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 \cdot 1 - - x^{2}}}$

단계 18.2

항을 묶습니다.

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단계 18.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 - - x^{2}}}$

단계 18.2.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + 1 x^{2}}}$

단계 18.2.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + x^{2}}}$

단계 18.2.4

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{0 + x^{2}}}$

단계 18.2.5

$0$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2}}}$

단계 18.2.6

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}$

단계 18.2.7

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}$

단계 18.2.8

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$