미적분 예제

$\arctan (\frac{y}{x})$

단계 1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{y}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{y}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

단계 1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{y}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{y}{x}$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

단계 2.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.2.1

$y$ 와 $\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 2.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

단계 2.4

분수를 통분합니다.

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단계 2.4.1

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{y x^{- 2}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

단계 2.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{y}{(1 + {(\frac{y}{x})}^{2}) x^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{y}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{y}{(1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{y}{1 x^{2} + \frac{y^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 3.3

항을 묶습니다.

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단계 3.3.1

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 3.3.2

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{x^{2}}}$

단계 3.3.3

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{x^{2}}}$

단계 3.3.3.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$