미적분 예제

$\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{9}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{9}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

단계 2.1.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{9}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

단계 2.2

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{9}{x}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

단계 2.3

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

단계 2.4

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

단계 2.5

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (- 9 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

단계 2.6

$- 9$ 와 $\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

단계 2.7

$\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 9 x^{- 2}}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

단계 2.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

단계 2.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{3}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{3}{x}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

단계 3.1.2

$\arctan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

단계 3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{3}{x}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

단계 3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

단계 3.3

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

단계 3.4

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 (- x^{- 2}))$

단계 3.5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (- 3 x^{- 2})$

단계 3.6

$- 3$ 와 $\frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} x^{- 2}$

단계 3.7

$\frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3 x^{- 2}}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$

단계 3.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

단계 3.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{9}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

단계 4.2

$\frac{3}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5

항을 묶습니다.

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단계 4.5.1

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.2

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.3

$\frac{81}{x^{2}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.4

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.4.2

$81$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.5

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.6

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.7

$\frac{9}{x^{2}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 4.5.8

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.5.8.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 4.5.8.2

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

단계 4.5.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{9}{x^{2} + 81}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

단계 4.5.10

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3}{x^{2} + 9}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

단계 4.5.11

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.5.11.1

$\frac{9}{x^{2} + 81}$ 에 $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ 을 곱합니다.

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

단계 4.5.11.2

$\frac{3}{x^{2} + 9}$ 에 $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ 을 곱합니다.

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)}$

단계 4.5.11.3

$(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

단계 4.5.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 9 (x^{2} + 9) - 3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

단계 4.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

단계 4.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.7.1.1

$- 9 (x^{2} + 9)$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

단계 4.7.1.2

$- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

단계 4.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 3 \cdot 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

단계 4.7.3

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

단계 4.7.4

$x^{2}$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 81 + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

단계 4.7.5

$81$ 를 $27$ 에 더합니다.

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

단계 4.7.6

$4 x^{2} + 108$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.7.6.1

$4 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 3 (4 (x^{2}) + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

단계 4.7.6.2

$108$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 4 \cdot 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

단계 4.7.6.3

$4 x^{2} + 4 \cdot 27$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 3 (4 (x^{2} + 27))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

$\frac{- 3 \cdot 4 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

단계 4.7.7

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

단계 4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$