미적분 예제

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{a}{x})}^{x}$

단계 1

항을 묶습니다.

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단계 1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{a}{x})}^{x}$

단계 1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + a}{x})}^{x}$

단계 2

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 2.1

${(\frac{x + a}{x})}^{x}$ 을 $e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{x})}$

단계 2.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{x})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + a}{x})}$

단계 3

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + a}{x})}$

단계 4

$x \ln (\frac{x + a}{x})$ 을 $\frac{\ln (\frac{x + a}{x})}{\frac{1}{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + a}{x})}{\frac{1}{x}}}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.2.1

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.2

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.3

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1.2.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{a}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.3.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.2.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{a}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{a}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.3.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.3.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.3.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.3.6

$a$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.4

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + a \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1.2.5.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + a \cdot 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.5.2

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1.2.5.2.1

$1 + a \cdot 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (1 + a \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.5.2.2

$a$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.5.2.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2.5.2.4

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.3

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 5.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 5.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + a}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x + a}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x + a}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x + a}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3

$\frac{x + a}{x}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x}{x + a} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.4

$\frac{x}{x + a}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.5

$f (x) = x + a$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + a] - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.6

합의 법칙에 의해 $x + a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ 가 됩니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]) - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [a]) - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.8

$a$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a$ 입니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.9

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.10

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x - (x + a) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.12

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x - (x + a)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.13

$\frac{x}{x + a}$ 에 $\frac{x - (x + a)}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + a))}{(x + a) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.14

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.14.1

$(x + a) x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + a))}{x (x + a) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.14.2

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + a))}{x (x + a) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.14.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - (x + a)}{(x + a) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15

간단히 합니다.

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단계 5.3.15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - a}{(x + a) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.15.3.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.3.2

$0$ 에서 $a$ 을 뺍니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.4

항을 묶습니다.

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단계 5.3.15.4.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x^{1} x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x^{1} x^{1} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x^{1 + 1} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x^{2} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.4.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.5

$x^{2} + a x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.15.5.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.5.2

$a x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + x a}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.5.3

$x \cdot x + x a$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.16

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

단계 5.3.17

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- x^{- 2}}}$

단계 5.3.18

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

단계 5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{a}{x (x + a)} \cdot - 1 x^{2}}$

단계 5.5

인수끼리 묶습니다.

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단계 5.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{a}{x (x + a)} x^{2}}$

단계 5.5.2

$\frac{a}{x (x + a)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{a}{x (x + a)} x^{2}}$

단계 5.5.3

$\frac{a}{x (x + a)}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{a x^{2}}{x (x + a)}}$

단계 5.6

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.1

$a x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x a x}{x (x + a)}}$

단계 5.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x a x}{x (x + a)}}$

단계 5.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{a x}{x + a}}$

단계 6

$a$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + a}}$

단계 7

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}}$

단계 8

극한값을 계산합니다.

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단계 8.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

공약수로 약분합니다.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}}$

단계 8.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}}$

단계 8.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}}$

단계 8.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{a}{x}}}$

단계 8.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{a \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}}$

단계 8.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}}$

단계 8.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}}$

단계 8.6

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{a \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}}$

단계 8.7

$a$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{a \frac{1}{1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 9

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{a \frac{1}{1 + a \cdot 0}}$

단계 10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 10.1.1

$a$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{a \frac{1}{1 + 0}}$

단계 10.1.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{a \frac{1}{1}}$

단계 10.2

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{a \cdot 1}$

단계 10.3

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{a}$