미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

단계 1.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

단계 1.1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $2^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

단계 1.3.3

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2^{x} \ln (2)}$

단계 2

$\frac{2}{\ln (2)}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

단계 3.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

단계 3.1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $2^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 3.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

단계 3.3.3

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x} \ln (2)}$

단계 4

$\frac{1}{\ln (2)}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x}}$

단계 5

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{2^{x}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)}$ 을 곱합니다.

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단계 6.1.1

$\frac{2}{\ln (2)}$ 에 $\frac{1}{\ln (2)}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\ln (2) \ln (2)} \cdot 0$

단계 6.1.2

$\ln (2)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot 0$

단계 6.1.3

$\ln (2)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot 0$

단계 6.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot 0$

단계 6.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{\ln^{2} (2)} \cdot 0$

단계 6.2

$\frac{2}{\ln^{2} (2)}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$