미적분 예제

$\frac{f (x) (\sin (14 x))}{\sin (7 x)}$

단계 1

$f (x)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{f (x) \sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ 의 미분은 $f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}]$ 입니다.

$f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}]$

단계 2

$\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}]$

단계 3

$\sin (14 x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)}]$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\sin (14 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}]$

단계 4.2

$\frac{1}{\sin (7 x)}$ 을 $\csc (7 x)$ 로 변환합니다.

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \csc (7 x)]$

단계 5

$f (x) = \sin (14 x)$ , $g (x) = \csc (7 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f (x) (\sin (14 x) \frac{d}{d x} [\csc (7 x)] + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

단계 6

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $7 x$ 로 바꿉니다.

$f (x) (\sin (14 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

단계 6.2

$\csc (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 입니다.

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

단계 6.3

$u_{1}$ 를 모두 $7 x$ 로 바꿉니다.

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

단계 7.2

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

단계 7.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x) \cdot 1) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

단계 7.4

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

단계 8

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 14 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $14 x$ 로 바꿉니다.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [14 x]))$

단계 8.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [14 x]))$

단계 8.3

$u_{2}$ 를 모두 $14 x$ 로 바꿉니다.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\cos (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]))$

단계 9

미분합니다.

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단계 9.1

$14$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $14 x$ 의 미분은 $14 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 9.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) (14 \cdot 1))$

단계 9.3

식을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$14$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) \cdot 14)$

단계 9.3.2

$\csc (7 x) \cos (14 x)$ 의 왼쪽으로 $14$ 이동하기

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + 14 \cdot (\csc (7 x) \cos (14 x)))$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x))) + f (x) (14 \csc (7 x) \cos (14 x))$

단계 10.2

$f (x)$ 의 왼쪽으로 $14$ 이동하기

$f (x) \sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + 14 f (x) \csc (7 x) \cos (14 x)$

단계 10.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 7 \cot (7 x) \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.4.1

$\cot (7 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- 7 \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4.2

$- 7$ 와 $\frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(7) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4.4

$\csc (7 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4.5

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)}$ 을 곱합니다.

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단계 10.4.5.1

$\frac{1}{\sin (7 x)}$ 에 $\frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ 을 곱합니다.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x) \sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4.5.2

$\sin (7 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{1} (7 x) \sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4.5.3

$\sin (7 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{1} (7 x) \sin^{1} (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{{\sin (7 x)}^{1 + 1}} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4.6

$\sin (14 x)$ 와 $\frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (14 x) (7 \cos (7 x))}{\sin^{2} (7 x)} f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4.7

$\sin (14 x)$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$- \frac{7 \cdot \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4.8

$f (x)$ 와 $\frac{7 \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{f (x) (7 \sin (14 x) \cos (7 x))}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4.9

$f (x)$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$- \frac{7 \cdot f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

단계 10.4.10

$\csc (7 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)} f (x)$

단계 10.4.11

$14 \cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}$ 을 곱합니다.

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단계 10.4.11.1

$\frac{1}{\sin (7 x)}$ 와 $14$ 을 묶습니다.

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14}{\sin (7 x)} \cos (14 x) f (x)$

단계 10.4.11.2

$\frac{14}{\sin (7 x)}$ 와 $\cos (14 x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x)}{\sin (7 x)} f (x)$

단계 10.4.12

$\frac{14 \cos (14 x)}{\sin (7 x)}$ 와 $f (x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

단계 10.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.5.1

$\sin^{2} (7 x)$ 에서 $\sin (7 x)$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin (7 x) \sin (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

단계 10.5.2

분수를 나눕니다.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

단계 10.5.3

$\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

단계 10.5.4

$\sin (14 x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\frac{\sin (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

단계 10.5.5

간단히 합니다.

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단계 10.5.5.1

$\sin (14 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

단계 10.5.5.2

$\frac{1}{\sin (7 x)}$ 을 $\csc (7 x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

단계 10.5.6

분수를 나눕니다.

$- (\frac{7 f (x)}{1} \cdot \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

단계 10.5.7

$\frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ 을 $\cot (7 x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{7 f (x)}{1} \cot (7 x) (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

단계 10.5.8

$7 f (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (7 f (x) \cot (7 x) (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

단계 10.5.9

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 7 (f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x)) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

단계 10.5.10

분수를 나눕니다.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} \cdot \frac{\cos (14 x)}{\sin (7 x)}$

단계 10.5.11

$\frac{\cos (14 x)}{\sin (7 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})$

단계 10.5.12

$\cos (14 x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\frac{\cos (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)})$

단계 10.5.13

간단히 합니다.

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단계 10.5.13.1

$\cos (14 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})$

단계 10.5.13.2

$\frac{1}{\sin (7 x)}$ 을 $\csc (7 x)$ 로 변환합니다.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \csc (7 x))$

단계 10.5.14

$14 f (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + 14 f (x) \cos (14 x) \csc (7 x)$

단계 10.6

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + 14 f (x) \cos (14 x) \csc (7 x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 7 \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$