미적분 예제

$\arctan (x - 1)$

단계 1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + 0)$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \cdot 1$

단계 2.4.2

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2} + 1}$

단계 3.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{(x - 1) (x - 1) + 1}$

단계 3.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x (x - 1) - 1 (x - 1) + 1}$

단계 3.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1}$

단계 3.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

단계 3.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

단계 3.2.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

단계 3.2.3.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

단계 3.2.3.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1}$

단계 3.2.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} - x - x + 1 + 1}$

단계 3.2.3.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1 + 1}$

단계 3.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 2}$