미적분 예제

$\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

단계 2

$\arctan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 3.1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 3.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

단계 3.4

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$

단계 3.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.3.3

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

단계 4.3.4

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

단계 4.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

단계 4.3.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

단계 4.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - 1}{x^{2} + 1}$

단계 4.3.7

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{x^{2} + 1}$

단계 4.4

$0$ 을 $x^{2} + 1$ 로 나눕니다.

$0$