미적분 예제

$\csc (x) \tan (x) \cos (x)$

단계 1

$f (x) = \csc (x) \tan (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\csc (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \tan (x)]$

단계 2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \tan (x)]$

단계 3

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

단계 4

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

단계 5

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \sec^{2} (x)) + \cos (x) (\tan (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

단계 6.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \csc (x) \sec^{2} (x) + \cos (x) \tan (x) (- \csc (x) \cot (x))$

단계 6.3

항을 다시 정렬합니다.

$- \csc (x) \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

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단계 6.4.1.1

괄호를 표시합니다.

$- (\csc (x) \sin (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.1.2

$- \csc (x) \sin (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.1.3

공약수로 약분합니다.

$- 1 \cdot 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.3

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.4

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.6

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.6.1

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.6.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.6.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)} \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.8

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.9

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.10

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.11

$- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.11.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.11.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.11.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.11.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.11.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

단계 6.4.12

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \tan (x)$

단계 6.4.13

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.13.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} \tan (x)$

단계 6.4.13.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \tan (x)$

단계 6.4.13.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \tan (x)$

단계 6.4.13.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \tan (x)$

단계 6.4.13.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \tan (x)$

단계 6.4.14

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 6.4.15

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.15.1

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 6.4.15.2

$- \cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 6.4.15.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 6.4.15.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

단계 6.4.16

$\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.16.1

$\sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

단계 6.4.16.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

단계 6.4.16.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}$

단계 6.4.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 6.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.5.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$- \tan (x) + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 6.5.2

분수를 나눕니다.

$- \tan (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 6.5.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$- \tan (x) + \frac{1}{\sin (x)} \sec (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 6.5.4

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$- \tan (x) + \csc (x) \sec (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 6.5.5

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$- \tan (x) + \csc (x) \sec (x) - \cot (x)$