미적분 예제

$f (x) = 2 x^{2} \arctan (5 x^{3})$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2} \arctan (5 x^{3})$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \arctan (5 x^{3})]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \arctan (5 x^{3})]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \arctan (5 x^{3})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{3})] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = 5 x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x^{3}$ 로 바꿉니다.

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $5 x^{3}$ 로 바꿉니다.

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + {(5 x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$5 x^{3}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + {(5 (x^{3}))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$5 (x^{3})$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 5^{2} {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2.1.3

${(x^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 x^{3 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2.1.3.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2.2

$\frac{1}{1 + 25 x^{6}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{3}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 (\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4

$5$ 와 $\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} (3 x^{2}) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.6

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$3$ 와 $\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{3 (5 x^{2})}{1 + 25 x^{6}} x^{2} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.6.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{15 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} x^{2} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.6.3

$\frac{15 x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{15 x^{2} x^{2}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 (\frac{15 (x^{2} x^{2})}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 (\frac{15 x^{2 + 2}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) (2 x))$

단계 7

공통 분모를 가지는 분수로 $\arctan (5 x^{3}) (2 x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + 25 x^{6}}{1 + 25 x^{6}}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \frac{\arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}})$

단계 8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \frac{15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}}$

단계 9

$2$ 와 $\frac{15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1 + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (15 x^{4}) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.1

$15$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{30 x^{4} + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{30 x^{4} + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.3.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{30 x^{4} + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.3.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{30 x^{4} + 4 (\arctan (5 x^{3}) x) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.5.1

$x^{6}$ 를 옮깁니다.

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 (x^{6} x)) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.3.1.5.2

$x^{6}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 (x^{6} x^{1})) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.3.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x^{6 + 1}) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.3.1.5.3

$6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x^{7}) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.3.1.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x^{7} \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.3.1.7

$25$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (50 \arctan (5 x^{3}) x^{7})}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.3.1.8

$50$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 100 \arctan (5 x^{3}) x^{7}}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.3.2

$30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 100 \arctan (5 x^{3}) x^{7}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{30 x^{4} + 4 x \arctan (5 x^{3}) + 100 x^{7} \arctan (5 x^{3})}{1 + 25 x^{6}}$

단계 10.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{30 x^{4} + 4 x \arctan (5 x^{3}) + 100 x^{7} \arctan (5 x^{3})}{25 x^{6} + 1}$