미적분 예제

$f (x) = x^{3} {(x - 9)}^{2}$

단계 1

${(x - 9)}^{2}$ 을 $(x - 9) (x - 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} ((x - 9) (x - 9))]$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 9) (x - 9)$ 를 전개합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x (x - 9) - 9 (x - 9))]$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 (x - 9))]$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

단계 3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 9$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 \cdot x - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

단계 3.1.3

$- 9$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 x - 9 x + 81)]$

단계 3.2

$- 9 x$ 에서 $9 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 18 x + 81)]$

단계 4

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{2} - 18 x + 81$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 18 x + 81] + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 18 x + 81$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]$ 가 됩니다.

$x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5.3

$- 18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 18 x$ 의 미분은 $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{3} (2 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5.5

$- 18$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{3} (2 x - 18 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5.6

$81$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $81$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $81$ 입니다.

$x^{3} (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5.7

$2 x - 18$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5.8

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) (3 x^{2})$

단계 5.9

$x^{2} - 18 x + 81$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x^{3} (2 x - 18) + 3 \cdot (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + (3 x^{2} + 3 (- 18 x) + 3 \cdot 81) x^{2}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4

항을 묶습니다.

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단계 6.4.1

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \cdot x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.1.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{1 + 3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.1.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$x^{4} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.2

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x^{4} + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.3

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 18$ 이동하기

$2 x^{4} - 18 \cdot x^{3} + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{2 + 2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.4.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.5

$- 18$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.6.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x) + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.6.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{2 + 1} + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.6.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 3 \cdot 81 x^{2}$

단계 6.4.7

$3$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

단계 6.4.8

$2 x^{4}$ 를 $3 x^{4}$ 에 더합니다.

$5 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

단계 6.4.9

$- 18 x^{3}$ 에서 $54 x^{3}$ 을 뺍니다.

$5 x^{4} - 72 x^{3} + 243 x^{2}$