미적분 예제

$f (x) = 5 x \sqrt[3]{x - 8}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x - 8}$ 을(를) ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [5 x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = x - 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 8$ 로 바꿉니다.

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x - 8$ 로 바꿉니다.

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8.2

$\frac{1}{3}$ 와 ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$5 (x (\frac{{(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$5 (x (\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8.4

$\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 8] + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

합의 법칙에 의해 $x - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 11

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 12

식을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 12.2

$\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1)$

단계 14

${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}})$

단계 15

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}})$

단계 16

${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 와 $\frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}})$

단계 17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 18

지수를 더하여 ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 에 ${(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 18.1

${(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ 를 옮깁니다.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2}{3}} {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.5

$3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 19

식을 간단히 합니다.

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단계 19.1

${(x - 8)}^{1} \cdot 3$ 을 간단히 합니다.

$5 \frac{x + (x - 8) \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 19.2

$x - 8$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$5 \frac{x + 3 \cdot (x - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 20

$5$ 와 $\frac{x + 3 (x - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 (x + 3 (x - 8))}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 21

간단히 합니다.

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단계 21.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 (x + 3 x + 3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 21.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 x + 5 (3 x) + 5 (3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 21.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 21.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 21.3.1.1

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x + 15 x + 5 (3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 21.3.1.2

$5 (3 \cdot - 8)$ 을 곱합니다.

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단계 21.3.1.2.1

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x + 15 x + 5 \cdot - 24}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 21.3.1.2.2

$5$ 에 $- 24$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x + 15 x - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 21.3.2

$5 x$ 를 $15 x$ 에 더합니다.

$\frac{20 x - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 21.4

$20 x - 120$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

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단계 21.4.1

$20 x$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$\frac{20 (x) - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 21.4.2

$- 120$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$\frac{20 x + 20 \cdot - 6}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 21.4.3

$20 x + 20 \cdot - 6$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$\frac{20 (x - 6)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$