미적분 예제

$f (x) = \frac{24 x + 10}{x^{2} + 1}$

단계 1

$f (x) = 24 x + 10$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [24 x + 10] - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $24 x + 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.4

$24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (24 + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.5

$10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (24 + 0) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$24$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 24 - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.2

$x^{2} + 1$ 의 왼쪽으로 $24$ 이동하기

$\frac{24 \cdot (x^{2} + 1) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.9

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.10

식을 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.10.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{24 (x^{2} + 1) - 2 (24 x + 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 - 2 (24 x + 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 + (- 2 (24 x) - 2 \cdot 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 - 2 (24 x) x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1.1

$24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 x) x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 (x \cdot x)) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 x^{2}) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.3

$24$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{24 x^{2} + 24 - 48 x^{2} - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.4

$- 2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{24 x^{2} + 24 - 48 x^{2} - 20 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.2

$24 x^{2}$ 에서 $48 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 24 x^{2} + 24 - 20 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 24 x^{2} - 20 x + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 24 x^{2} - 20 x + 24$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.6.1.1

$- 24 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 6 x^{2}) - 20 x + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.1.2

$- 20 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x) + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.1.3

$24$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x) + 4 (6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.1.4

$4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 x) + 4 (6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.1.5

$4 (- 6 x^{2} - 5 x) + 4 (6)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 6 \cdot 6 = - 36$ 이고 합이 $b = - 5$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.6.2.1.1

$- 5 x$ 에서 $- 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 (x) + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.2.1.2

$- 5$ 를 $4$ + $- 9$ 로 다시 씁니다.

$\frac{4 (- 6 x^{2} + (4 - 9) x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (- 6 x^{2} + 4 x - 9 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.6.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{4 ((- 6 x^{2} + 4 x) - 9 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{4 (2 x (- 3 x + 2) + 3 (- 3 x + 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.2.3

최대공약수 $- 3 x + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{4 ((- 3 x + 2) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{4 (- 3 x + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.7

$- 3 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (3 x) + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.8

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- (3 x) - 1 (- 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.9

$- (3 x) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.10

$- (3 x - 2)$ 을 $- 1 (3 x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- 1 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(4 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.12

$- \frac{(4 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{4 (3 x - 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$