미적분 예제

$f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$

단계 2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 + \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $3 + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 4.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 에 더합니다.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 6

곱합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 6.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 7

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 8

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11

$4$ 와 $\frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 ((3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (3 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (3 \cos (x)) + 4 (\cos (x) \cos (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.3.1.1

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos (x) \cos (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.3.1.2

$\cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 12.3.1.2.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.3.1.2.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.3.1.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{12 \cos (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.3.1.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{12 \cos (x) + 4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.3.2

$4 \cos^{2} (x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.3.3

$4 \sin^{2} (x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.3.4

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.3.5

항을 다시 배열합니다.

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.3.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{12 \cos (x) + 4 \cdot 1}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.3.7

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{12 \cos (x) + 4}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 + 12 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.5

$4 + 12 \cos (x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.5.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (1) + 12 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.5.2

$12 \cos (x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (1) + 4 (3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12.5.3

$4 (1) + 4 (3 \cos (x))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (1 + 3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$