미적분 예제

$f (x) = \frac{\cos (8 x) - 1}{\sin (9 x)}$

단계 1

$f (x) = \cos (8 x) - 1$ , $g (x) = \sin (9 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x) - 1] - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 2

합의 법칙에 의해 $\cos (8 x) - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{\sin (9 x) (\frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 8 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $8 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sin (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 3.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$\frac{\sin (9 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 3.3

$u_{1}$ 를 모두 $8 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sin (9 x) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\sin (9 x) (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 4.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 4.4

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 4.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) + 0) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 4.6

$- 8 \sin (8 x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 5

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 5.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 6.2

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x) \frac{d}{d x} [x]}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x) \cdot 1}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 6.4

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) + (- 9 \cos (8 x) - 9 \cdot - 1) \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) - 9 \cdot - 1 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 7.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 8 \sin (9 x) \sin (8 x) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) - 9 \cdot - 1 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 7.3.2

$- 9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8 \sin (9 x) \sin (8 x) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) + 9 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

단계 7.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 8 \sin (8 x) \sin (9 x) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) + 9 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$