미적분 예제

$f (x) = x^{2} \log_{4} (3 - x)$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \log_{4} (3 - x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{4} (3 - x)] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2

$f (x) = \log_{4} (x)$ , $g (x) = 3 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 - x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{4} (u)] \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$\log_{4} (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u \ln (4)}$ 입니다.

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $3 - x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{1}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{(3 - x) \ln (4)}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $3 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [- x] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (- \frac{d}{d x} [x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (- 1 \cdot 1) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7

분수를 통분합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \cdot - 1 + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7.2

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \cdot - 1}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.7.3.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{- 1 \cdot x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7.3.2

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) (2 x)$

단계 3.9

$\log_{4} (- x + 3)$ 를 옮깁니다.

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + 2 x \log_{4} (- x + 3)$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x \log_{4} (- x + 3)$ 을 표현하기 위해 $\frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + 2 x \log_{4} (- x + 3) \cdot \frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$

단계 5

$2 x \log_{4} (- x + 3)$ 와 $\frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + \frac{2 x \log_{4} (- x + 3) ((- x + 3) \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) ((- x + 3) \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \log_{4} (- x + 3)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.2.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (4)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + \ln (4^{3}))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.3.1.2.2

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4)) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} - \ln (4) x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) x + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- x^{2} - \ln (4) (x \cdot x) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.3.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} - \ln (4) x^{2} \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.3.2

$- x^{2} - \ln (4) x^{2} \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{2} - x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.4

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2}) - x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.5

$- x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2}) - (x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.6

$- (x^{2}) - (x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.7

$x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) - (- x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.8

$- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) - (- x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.9

$- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ 을 $- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

단계 7.10

$- x \ln (4)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4)) + 3 \ln (4)}$

단계 7.11

$3 \ln (4)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4)) - (- 3 \ln (4))}$

단계 7.12

$- (x \ln (4)) - (- 3 \ln (4))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

단계 7.13

$- (x \ln (4) - 3 \ln (4))$ 을 $- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

단계 7.14

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

단계 7.15

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{x \ln (4) - 3 \ln (4)}$

단계 7.16

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \ln (64) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})}{x \ln (4) - 3 \ln (4)}$