미적분 예제

$\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25} > 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$4 - 3 x - x^{2} = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

단계 2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$4 - 3 x - x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식을 다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$4$ 를 옮깁니다.

$- 3 x - x^{2} + 4 = 0$

단계 2.1.1.2

$- 3 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

단계 2.1.2

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) - 3 x + 4 = 0$

단계 2.1.3

$- 3 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) - (3 x) + 4 = 0$

단계 2.1.4

$4$ 을 $- 1 (- 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

단계 2.1.5

$- (x^{2}) - (3 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

단계 2.1.6

$- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 4)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

단계 2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 3 x - 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 4$ 이고 합은 $3$ 입니다.

$- 1, 4$

단계 2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- ((x - 1) (x + 4)) = 0$

단계 2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (x - 1) (x + 4) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

단계 4

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 6

$- (x - 1) (x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 4$

단계 7

방정식의 양변에 $25$ 를 더합니다.

$x^{2} = 25$

단계 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

단계 9

$\pm \sqrt{25}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

단계 9.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 5$

단계 10

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 5$

단계 10.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 5$

단계 10.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 5, - 5$

단계 11

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 1, - 4$

$x = 5, - 5$

단계 12

해를 하나로 합합니다.

$x = 1, - 4, 5, - 5$

단계 13

$\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 25 = 0$

단계 13.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

방정식의 양변에 $25$ 를 더합니다.

$x^{2} = 25$

단계 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

단계 13.2.3

$\pm \sqrt{25}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.3.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

단계 13.2.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 5$

단계 13.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 5$

단계 13.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 5$

단계 13.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 5, - 5$

단계 13.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

단계 14

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 5$

$x > 5$

단계 15

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 15.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

$\frac{4 - 3 \cdot - 8 - {(- 8)}^{2}}{{(- 8)}^{2} - 25} > 0$

단계 15.1.3

좌변 $- 0.\overline{923076}$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 15.2

$- 5 < x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$- 5 < x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4.5$

단계 15.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4.5$ 로 치환합니다.

$\frac{4 - 3 \cdot - 4.5 - {(- 4.5)}^{2}}{{(- 4.5)}^{2} - 25} > 0$

단계 15.2.3

좌변 $0.57894736$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 15.3

$- 4 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

$- 4 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 15.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{4 - 3 \cdot 0 - {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 25} > 0$

단계 15.3.3

좌변 $- 0.16$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 15.4

$1 < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$1 < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 15.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$\frac{4 - 3 \cdot 3 - {(3)}^{2}}{{(3)}^{2} - 25} > 0$

단계 15.4.3

좌변 $0.875$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 15.5

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.1

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 15.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

$\frac{4 - 3 \cdot 8 - {(8)}^{2}}{{(8)}^{2} - 25} > 0$

단계 15.5.3

좌변 $- 2.\overline{153846}$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 15.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 5$ 거짓

$- 5 < x < - 4$ 참

$- 4 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 5$ 참

$x > 5$ 거짓

$x < - 5$ 거짓

$- 5 < x < - 4$ 참

$- 4 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 5$ 참

$x > 5$ 거짓

단계 16

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 5 < x < - 4$ 또는 $1 < x < 5$

단계 17

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- 5, - 4) \cup (1, 5)$

단계 18