미적분 예제

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 4 x + 5} < 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 3 x - 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 4$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 4, 1$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 4

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 6

$(x - 4) (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 1$

단계 7

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 8

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 5$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

단계 9.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

단계 9.1.2.2

$- 4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

단계 9.1.3

$16$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

단계 9.1.4

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 9.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

단계 9.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

단계 9.1.7

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 9.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

단계 9.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

단계 9.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

단계 9.3

$\frac{4 \pm 2 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 2 \pm i$

단계 10

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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단계 10.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

단계 10.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

단계 10.1.2.2

$- 4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

단계 10.1.3

$16$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

단계 10.1.4

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 10.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

단계 10.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

단계 10.1.7

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 10.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

단계 10.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

단계 10.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

단계 10.3

$\frac{4 \pm 2 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 2 \pm i$

단계 10.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = 2 + i$

단계 11

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

단계 11.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

단계 11.1.2.2

$- 4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

단계 11.1.3

$16$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

단계 11.1.4

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 11.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

단계 11.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

단계 11.1.7

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 11.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

단계 11.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

단계 11.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

단계 11.3

$\frac{4 \pm 2 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 2 \pm i$

단계 11.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = 2 - i$

단계 12

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = 2 + i, 2 - i$

단계 13

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 4, - 1$

$x = 2 + i, 2 - i$

단계 14

해를 하나로 합합니다.

$x = 4, - 1$

단계 15

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

단계 16

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 16.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 - 4}{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 5} < 0$

단계 16.1.3

좌변 $0.\overline{648}$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 16.2

$- 1 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

$- 1 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 16.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 5} < 0$

단계 16.2.3

좌변 $- 0.8$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 16.3

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 16.3.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 16.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 4}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 5} < 0$

단계 16.3.3

좌변 $0.82352941$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 16.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

$x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

단계 17

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 1 < x < 4$

단계 18

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- 1, 4)$

단계 19