미적분 예제

$f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ , $f' (6)$

단계 1

$f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ 의 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{2}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$9 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$9 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$9 x^{2} - 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 x^{2} - 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.4.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 x^{2} - 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.5.1

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$9 x^{2} - 10 x + 5 + 0$

단계 1.5.2

$9 x^{2} - 10 x + 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 x^{2} - 10 x + 5$

단계 2

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$9 {(6)}^{2} - 10 \cdot 6 + 5$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$9 \cdot 36 - 10 \cdot 6 + 5$

단계 3.1.2

$9$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$324 - 10 \cdot 6 + 5$

단계 3.1.3

$- 10$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$324 - 60 + 5$

단계 3.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$324$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$264 + 5$

단계 3.2.2

$264$ 를 $5$ 에 더합니다.

$269$