미적분 예제

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$

단계 1

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 3 e^{2 x} + 1$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 3 e^{2 y} + 1$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3 e^{2 y} + 1 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 e^{2 y} + 1 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$3 e^{2 y} = x - 1$

단계 3.3

$3 e^{2 y} = x - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$3 e^{2 y} = x - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

단계 3.3.2.1.2

$e^{2 y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{2 y} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{2 y} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

단계 3.4

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

단계 3.5

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$2 y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{2 y})$ 을 전개합니다.

$2 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

단계 3.5.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$2 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

단계 3.5.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

단계 3.6

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

단계 3.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

단계 3.6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ 가 $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

단계 5.2.3

$\frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ 을 $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$

단계 5.2.4

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ 을 간단히 합니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

단계 5.2.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

단계 5.2.5.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.2.1

$3 e^{2 x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 (e^{2 x})) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

단계 5.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

단계 5.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

단계 5.2.5.3

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

단계 5.2.6

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

$e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1 - 1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

단계 5.2.6.1.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{0}{3})}^{\frac{1}{2}})$

단계 5.2.6.1.3

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

단계 5.2.6.1.4

$e^{2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

단계 5.2.6.2

${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

단계 5.2.6.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.2.2.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

단계 5.2.6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

단계 5.2.6.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

단계 5.2.7

로그 공식을 이용해 지수에서 $x$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

단계 5.2.8

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

단계 5.2.9

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})} + 1$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

단계 5.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

단계 5.3.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{\ln (\frac{x - 1}{3})} + 1$

단계 5.3.3.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

단계 5.3.3.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

단계 5.3.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x - 1 + 1$

단계 5.3.4

$x - 1 + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x + 0$

단계 5.3.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ 은 $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$