미적분 예제

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

단계 1

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$

단계 3.2

양변에 $1 - e^{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$1 - e^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

단계 3.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$1 + e^{y} = x (1 - e^{y})$

단계 3.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$x (1 - e^{y})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 + e^{y} = x \cdot 1 + x (- e^{y})$

단계 3.3.2.1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.2.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + e^{y} = x + x (- e^{y})$

단계 3.3.2.1.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$1 + e^{y} = x - x e^{y}$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에 $x e^{y}$ 를 더합니다.

$1 + e^{y} + x e^{y} = x$

단계 3.4.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$e^{y} + x e^{y} = x - 1$

단계 3.4.3

$e^{y} + x e^{y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$1$ 을 곱합니다.

$e^{y} \cdot 1 + x e^{y} = x - 1$

단계 3.4.3.2

$x e^{y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x = x - 1$

단계 3.4.3.3

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$e^{y} (1 + x) = x - 1$

단계 3.4.4

$e^{y} (1 + x) = x - 1$ 의 각 항을 $1 + x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$e^{y} (1 + x) = x - 1$ 의 각 항을 $1 + x$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$1 + x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

단계 3.4.4.2.1.2

$e^{y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{y} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

단계 3.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{y} = \frac{x - 1}{1 + x}$

단계 3.4.5

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

단계 3.4.6

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

단계 3.4.6.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

단계 3.4.6.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ 가 $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

단계 5.2.3

괄호를 제거합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

단계 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - e^{x}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$\frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}}$ 에 $\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot \frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

단계 5.2.4.2

조합합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1)}{(1 - e^{x}) (1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

단계 5.2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

단계 5.2.6

소거하고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

$1 - e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

단계 5.2.6.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

단계 5.2.6.2

$1 - e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

단계 5.2.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

단계 5.2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + 1 \cdot - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

단계 5.2.7.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

단계 5.2.7.3

$- e^{x} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + 1 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

단계 5.2.7.3.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

단계 5.2.7.4

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{0 + e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

단계 5.2.7.5

$0$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

단계 5.2.7.6

$e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

단계 5.2.8

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.8.1

$1 - e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 - e^{x} + 1 + e^{x}})$

단계 5.2.8.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 - e^{x} + e^{x}})$

단계 5.2.8.3

$- e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 + 0})$

단계 5.2.8.4

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

단계 5.2.9

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.9.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

단계 5.2.9.2

$e^{x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (e^{x})$

단계 5.2.10

로그 공식을 이용해 지수에서 $x$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \ln (e)$

단계 5.2.11

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \cdot 1$

단계 5.2.12

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x}))$ 값을 계산합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

단계 5.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

단계 5.3.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

단계 5.3.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

단계 5.3.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

단계 5.3.3.5

인수분해된 형태로 $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.1

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

단계 5.3.3.5.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

단계 5.3.3.5.3

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

단계 5.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}$

단계 5.3.4.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}$

단계 5.3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}$

단계 5.3.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}$

단계 5.3.4.5

인수분해된 형태로 $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

단계 5.3.4.5.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

단계 5.3.4.5.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

단계 5.3.4.5.4

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

단계 5.3.4.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

단계 5.3.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

단계 5.3.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.6.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

단계 5.3.6.2

공약수로 약분합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

단계 5.3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

단계 5.3.7

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

단계 5.3.7.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ 은 $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$