미적분 예제

$f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

단계 1

$f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$

단계 3.2

양변에 $e^{y} + 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$e^{y} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

단계 3.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{y} - 1 = x (e^{y} + 1)$

단계 3.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$x (e^{y} + 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x \cdot 1$

단계 3.3.2.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에서 $x e^{y}$ 를 뺍니다.

$e^{y} - 1 - x e^{y} = x$

단계 3.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$e^{y} - x e^{y} = x + 1$

단계 3.4.3

$e^{y} - x e^{y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$1$ 을 곱합니다.

$e^{y} \cdot 1 - x e^{y} = x + 1$

단계 3.4.3.2

$- x e^{y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x) = x + 1$

단계 3.4.3.3

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x)$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$e^{y} (1 - x) = x + 1$

단계 3.4.4

$e^{y} (1 - x) = x + 1$ 의 각 항을 $1 - x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$e^{y} (1 - x) = x + 1$ 의 각 항을 $1 - x$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

단계 3.4.4.2.1.2

$e^{y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{y} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

단계 3.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{y} = \frac{x + 1}{1 - x}$

단계 3.4.5

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

단계 3.4.6

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

단계 3.4.6.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

단계 3.4.6.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ 가 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + 1}{1 - (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

단계 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e^{x} + 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$\frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}}$ 에 $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}})$

단계 5.2.3.2

조합합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1)}{(e^{x} + 1) (1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

단계 5.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

단계 5.2.5

소거하고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

$e^{x} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

단계 5.2.5.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

단계 5.2.5.2

$e^{x} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.2.1

$- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

단계 5.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

단계 5.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

단계 5.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

$e^{x} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + e^{x} + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

단계 5.2.6.2

$e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} - 1 + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

단계 5.2.6.3

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} + 0}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

단계 5.2.6.4

$2 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

단계 5.2.7

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

$e^{x} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - (e^{x} - 1)})$

단계 5.2.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

단계 5.2.7.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

단계 5.2.7.4

$e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{0 + 1 + 1})$

단계 5.2.7.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 + 1})$

단계 5.2.7.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

단계 5.2.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

단계 5.2.8.2

$e^{x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (e^{x})$

단계 5.2.9

로그 공식을 이용해 지수에서 $x$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \ln (e)$

단계 5.2.10

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \cdot 1$

단계 5.2.11

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x}))$ 값을 계산합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

단계 5.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

단계 5.3.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 - x}{1 - x}$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

단계 5.3.3.3

$- 1$ 와 $\frac{1 - x}{1 - x}$ 을 묶습니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

단계 5.3.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

단계 5.3.3.5

항을 다시 정렬합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

단계 5.3.3.6

인수분해된 형태로 $\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 \cdot 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

단계 5.3.3.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

단계 5.3.3.6.3

$- - x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.6.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + 1 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

단계 5.3.3.6.3.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

단계 5.3.3.6.4

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

단계 5.3.3.6.5

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

단계 5.3.3.6.6

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

단계 5.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

단계 5.3.4.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{1 - x}{1 - x}}$

단계 5.3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1 + 1 - x}{1 - x}}$

단계 5.3.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}}$

단계 5.3.4.5

인수분해된 형태로 $\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.5.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{- x + 1}}$

단계 5.3.4.5.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{1 + 1}{- x + 1}}$

단계 5.3.4.5.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{2}{- x + 1}}$

단계 5.3.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

단계 5.3.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.6.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 (x)}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

단계 5.3.6.2

공약수로 약분합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

단계 5.3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x}{- x + 1} \cdot (- x + 1)$

단계 5.3.7

$\frac{x}{- x + 1}$ 에 $- x + 1$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

단계 5.3.8

$- x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.8.1

공약수로 약분합니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

단계 5.3.8.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ 은 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$