미적분 예제

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

단계 1

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

단계 3.2

양변에 $1 + 2 e^{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$1 + 2 e^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

단계 3.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

단계 3.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$x (1 + 2 e^{y})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

단계 3.3.2.1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.2.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

단계 3.3.2.1.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에서 $2 x e^{y}$ 를 뺍니다.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

단계 3.4.2

$e^{y} - 2 x e^{y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

단계 3.4.2.2

$- 2 x e^{y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

단계 3.4.2.3

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

단계 3.4.3

$e^{y} (1 - 2 x) = x$ 의 각 항을 $1 - 2 x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$e^{y} (1 - 2 x) = x$ 의 각 항을 $1 - 2 x$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

단계 3.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1

$1 - 2 x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

단계 3.4.3.2.1.2

$e^{y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

단계 3.4.4

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

단계 3.4.5

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

단계 3.4.5.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

단계 3.4.5.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ 가 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

단계 5.2.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

단계 5.2.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$- 2$ 와 $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

단계 5.2.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{(2) e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

단계 5.2.4.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}} - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

단계 5.2.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x} - 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

단계 5.2.4.5

항을 다시 정렬합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}})$

단계 5.2.4.6

인수분해된 형태로 $\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.6.1

$2 e^{x}$ 에서 $2 e^{x}$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 e^{x} + 1}})$

단계 5.2.4.6.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e^{x} + 1}})$

단계 5.2.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (1 (2 e^{x} + 1)))$

단계 5.2.6

$2 e^{x} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (2 e^{x} + 1))$

단계 5.2.7

$\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ 에 $2 e^{x} + 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{1 + 2 e^{x}})$

단계 5.2.8

$2 e^{x} + 1$ 및 $1 + 2 e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.8.1

항을 다시 정렬합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

단계 5.2.8.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

단계 5.2.8.3

$e^{x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (e^{x})$

단계 5.2.9

로그 공식을 이용해 지수에서 $x$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \ln (e)$

단계 5.2.10

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \cdot 1$

단계 5.2.11

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x}))$ 값을 계산합니다.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

단계 5.3.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

단계 5.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 (\frac{x}{1 - 2 x})}$

단계 5.3.4.2

$2$ 와 $\frac{x}{1 - 2 x}$ 을 묶습니다.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

단계 5.3.4.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

단계 5.3.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}}$

단계 5.3.4.5

인수분해된 형태로 $\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.5.1

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 + 0}{1 - 2 x}}$

단계 5.3.4.5.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1}{1 - 2 x}}$

단계 5.3.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

단계 5.3.6

$1 - 2 x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.6.1

공약수로 약분합니다.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

단계 5.3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ 은 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$