미적분 예제

$f (x) = e^{- 8 x}$

단계 1

$f (x) = e^{- 8 x}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = e^{- 8 x}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = e^{- 8 y}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$e^{- 8 y} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{- 8 y} = x$

단계 3.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- 8 y}) = \ln (x)$

단계 3.3

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 8 y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- 8 y})$ 을 전개합니다.

$- 8 y \ln (e) = \ln (x)$

단계 3.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$- 8 y \cdot 1 = \ln (x)$

단계 3.3.3

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 y = \ln (x)$

단계 3.4

$- 8 y = \ln (x)$ 의 각 항을 $- 8$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- 8 y = \ln (x)$ 의 각 항을 $- 8$ 로 나눕니다.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

단계 3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- 8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

단계 3.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (x)}{- 8}$

단계 3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{\ln (x)}{8}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ 가 $f (x) = e^{- 8 x}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (e^{- 8 x})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{\ln (e^{- 8 x})}{8}$

단계 5.2.3

$- 8 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- 8 x})$ 을 전개합니다.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- 8 x \ln (e)}{8}$

단계 5.2.4

$- 8$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$- 8 x \ln (e)$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8}$

단계 5.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.2.1

$8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 (1)}$

단계 5.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 \cdot 1}$

단계 5.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- x \ln (e)}{1}$

단계 5.2.4.2.4

$- x \ln (e)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \ln (e))$

단계 5.2.5

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \cdot 1)$

단계 5.2.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (- \frac{\ln (x)}{8})$ 값을 계산합니다.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 (- \frac{\ln (x)}{8})}$

단계 5.3.3

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- \frac{\ln (x)}{8}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 \frac{- \ln (x)}{8}}$

단계 5.3.3.2

$- 8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 (- 1) (\frac{- \ln (x)}{8})}$

단계 5.3.3.3

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 \cdot (- 1 \frac{- \ln (x)}{8})}$

단계 5.3.3.4

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 1 (- \ln (x))}$

단계 5.3.4

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{1 \ln (x)}$

단계 5.3.4.2

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{\ln (x)}$

단계 5.3.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ 은 $f (x) = e^{- 8 x}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$