미적분 예제

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

단계 1

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 3 e^{\frac{1}{3} y + 1}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$

단계 3.2

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

단계 3.2.2.1.2

$e^{\frac{1}{3} y + 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{\frac{1}{3} y + 1} = \frac{x}{3}$

단계 3.2.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{y}{3} + 1} = \frac{x}{3}$

단계 3.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{\frac{y}{3} + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

단계 3.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{y}{3} + 1$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{\frac{y}{3} + 1})$ 을 전개합니다.

$(\frac{y}{3} + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

단계 3.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$(\frac{y}{3} + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

단계 3.4.3

$\frac{y}{3} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{3} + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

단계 3.5

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\frac{y}{3} = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

단계 3.6

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

단계 3.7

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

단계 3.7.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

단계 3.7.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

$3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 1$

단계 3.7.2.1.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ 가 $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

단계 5.2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

단계 5.2.3.1.2

$e^{\frac{1}{3} x + 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (e^{\frac{1}{3} x + 1}) - 3$

단계 5.2.3.2

로그 공식을 이용해 지수에서 $\frac{1}{3} x + 1$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{1}{3} x + 1) \ln (e)) - 3$

단계 5.2.3.3

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \ln (e)) - 3$

단계 5.2.3.4

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \cdot 1) - 3$

단계 5.2.3.5

$\frac{x}{3} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3} + 1) - 3$

단계 5.2.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

단계 5.2.3.7

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

단계 5.2.3.7.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 \cdot 1 - 3$

단계 5.2.3.8

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 - 3$

단계 5.2.4

$x + 3 - 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 0$

단계 5.2.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3)$ 값을 계산합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) + 1}$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (\frac{x}{3})$ 을 간단히 합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(\frac{x}{3})}^{3}) - 3) + 1}$

단계 5.3.3.1.2

$\frac{x}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{3^{3}}) - 3) + 1}$

단계 5.3.3.1.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{27}) - 3) + 1}$

단계 5.3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x^{3}}{27}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

단계 5.3.3.3

$\frac{1}{3}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{3} \ln (\frac{x^{3}}{27})$ 을 간단히 합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

단계 5.3.3.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.4.1

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1)) + 1}$

단계 5.3.3.4.2

공약수로 약분합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) + 1}$

단계 5.3.3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) - 1 + 1}$

단계 5.3.3.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.1

$\frac{x^{3}}{27}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

단계 5.3.3.5.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.2.1

${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

단계 5.3.3.5.2.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

단계 5.3.3.5.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

단계 5.3.3.5.2.2

간단히 합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

단계 5.3.3.5.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.3.1

$27$ 을 $3^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

단계 5.3.3.5.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

단계 5.3.3.5.3.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

단계 5.3.3.5.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

단계 5.3.3.5.3.4

지수값을 계산합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

단계 5.3.4

$\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

단계 5.3.4.2

$\ln (\frac{x}{3})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

단계 5.3.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

단계 5.3.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.6.1

공약수로 약분합니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

단계 5.3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ 은 $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$