미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

단계 1

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$

단계 3.2

$\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 20$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3} = x$

단계 3.2.2

$- 20$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} = x$

단계 3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 20 \cdot 3}{3} = x$

단계 3.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$- 20$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 60}{3} = x$

단계 3.2.4.2

$1$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$2 y^{2} - 12 y + \frac{- 59}{3} = x$

단계 3.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} = x$

단계 3.3

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} - x = 0$

단계 3.4

식 전체에 최소공분모 $3$ 을 곱한 다음 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (2 y^{2}) + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

단계 3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 y^{2} + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

단계 3.4.2.2

$- 12$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

단계 3.4.2.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.3.1

$- \frac{59}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

단계 3.4.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

단계 3.4.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$6 y^{2} - 36 y - 59 + 3 (- x) = 0$

단계 3.4.2.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 y^{2} - 36 y - 59 - 3 x = 0$

단계 3.4.3

$- 59$ 를 옮깁니다.

$6 y^{2} - 36 y - 3 x - 59 = 0$

단계 3.4.4

$- 36 y$ 를 옮깁니다.

$6 y^{2} - 3 x - 36 y - 59 = 0$

단계 3.5

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.6

이차함수의 근의 공식에 $a = 6$ , $b = - 36$ , $c = - 3 x - 59$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (- 3 x - 59))}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$- 36$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7.1.2

$- 4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7.1.4

$- 3$ 에 $- 24$ 을 곱합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7.1.5

$- 24$ 에 $- 59$ 을 곱합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7.1.6

$1296$ 를 $1416$ 에 더합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7.1.7

$72 x + 2712$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.7.1

$72 x$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7.1.7.2

$2712$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7.1.7.3

$24 (3 x) + 24 (113)$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7.1.8

$24 (3 x + 113)$ 을 $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.8.1

$24$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7.1.8.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.7.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

단계 3.7.3

$\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

단계 3.8

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1.1

$- 36$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.8.1.2

$- 4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.8.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

단계 3.8.1.4

$- 3$ 에 $- 24$ 을 곱합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

단계 3.8.1.5

$- 24$ 에 $- 59$ 을 곱합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

단계 3.8.1.6

$1296$ 를 $1416$ 에 더합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

단계 3.8.1.7

$72 x + 2712$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1.7.1

$72 x$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

단계 3.8.1.7.2

$2712$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.8.1.7.3

$24 (3 x) + 24 (113)$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.8.1.8

$24 (3 x + 113)$ 을 $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1.8.1

$24$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.8.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

단계 3.8.1.8.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

단계 3.8.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.8.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

단계 3.8.3

$\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

단계 3.8.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

단계 3.9

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1.1

$- 36$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.9.1.2

$- 4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.9.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

단계 3.9.1.4

$- 3$ 에 $- 24$ 을 곱합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

단계 3.9.1.5

$- 24$ 에 $- 59$ 을 곱합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

단계 3.9.1.6

$1296$ 를 $1416$ 에 더합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

단계 3.9.1.7

$72 x + 2712$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1.7.1

$72 x$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

단계 3.9.1.7.2

$2712$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.9.1.7.3

$24 (3 x) + 24 (113)$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.9.1.8

$24 (3 x + 113)$ 을 $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1.8.1

$24$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.9.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

단계 3.9.1.8.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

단계 3.9.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

단계 3.9.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

단계 3.9.3

$\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

단계 3.9.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

단계 3.10

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ 가 $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 및 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

단계 5.3

$\frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{6 (3 x + 113)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$6 (3 x + 113) \geq 0$

단계 5.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$6 (3 x + 113) \geq 0$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$6 (3 x + 113) \geq 0$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

단계 5.3.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

단계 5.3.2.1.2.1.2

$3 x + 113$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x + 113 \geq \frac{0}{6}$

단계 5.3.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.3.1

$0$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$3 x + 113 \geq 0$

단계 5.3.2.2

부등식의 양변에서 $113$ 를 뺍니다.

$3 x \geq - 113$

단계 5.3.2.3

$3 x \geq - 113$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

$3 x \geq - 113$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

단계 5.3.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

단계 5.3.2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \geq \frac{- 113}{3}$

단계 5.3.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x \geq - \frac{113}{3}$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

단계 5.4

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ 의 정의역이 $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ 의 치역이 $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ 은 $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

단계 6