미적분 예제

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = y^{\frac{2}{3}}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y^{\frac{2}{3}} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y^{\frac{2}{3}} = x$

단계 3.2

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $\frac{3}{2}$ 승합니다.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

단계 3.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

단계 3.3.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

단계 3.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

단계 3.3.1.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

단계 3.3.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

단계 3.3.1.2

간단히 합니다.

$y = \pm x^{\frac{3}{2}}$

단계 3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

단계 3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

단계 3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ 가 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 및 $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

단계 5.3

$x^{\frac{3}{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\sqrt{x^{3}}$

단계 5.3.2

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x^{3}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x^{3} \geq 0$

단계 5.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 부등식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

단계 5.3.3.2

방정식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.1

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

단계 5.3.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.2.1.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 5.3.3.2.2.1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x \geq 0$

단계 5.3.4

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$[0, \infty)$

단계 5.4

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

단계 5.4.2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5.5

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ 의 정의역이 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ 의 치역이 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ 은 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

단계 6