미적분 예제

$f (x) = (4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} - \sin (x))$

단계 1

$f (x) = 4 e^{x} + \cos (x)$ , $g (x) = e^{3 x} - \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{3 x} - \sin (x)] + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $e^{3 x} - \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 가 됩니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

단계 4.3.2

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

단계 4.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

단계 5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $4 e^{x} + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 6.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 e^{x}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 7

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 e^{x} + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 8

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 e^{x} - \sin (x))$

단계 9

항을 다시 정렬합니다.

$(3 e^{3 x} - \cos (x)) (4 e^{x} + \cos (x)) + (4 e^{x} - \sin (x)) (e^{3 x} - \sin (x))$