미적분 예제

$f (x) = (3 x^{2} - 2 x + 5) (4 x^{2} + 3 x - 1)$

단계 1

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5$ , $g (x) = 4 x^{2} + 3 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1] + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + 3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

단계 2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

단계 2.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

단계 2.5

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

단계 2.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

단계 2.8

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 + 0) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

단계 2.9

$8 x + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

단계 2.10

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 2 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

단계 2.11

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

단계 2.12

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

단계 2.13

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

단계 2.14

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

단계 2.15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

단계 2.16

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [5])$

단계 2.17

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 + 0)$

단계 2.18

$6 x - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.1.2

$(4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + 1 ((4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$

단계 3.1.3

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + 1 ((4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$

단계 3.2

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)$ 를 전개합니다.

$3 x^{2} (8 x) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 \cdot 8 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$3 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 \cdot 8 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 \cdot 8 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2.3

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2.4

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2.7

$- 2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2.8

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2.9

$8$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 40 x + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.2.10

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 40 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.3

$9 x^{2}$ 에서 $16 x^{2}$ 을 뺍니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} - 6 x + 40 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.4

$- 6 x$ 를 $40 x$ 에 더합니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

단계 3.3.5

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ 를 전개합니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 x^{2} (6 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6.3

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6.4

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6.7

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6.8

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6.9

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 2$

단계 3.3.6.10

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 6 x + 2$

단계 3.3.7

$- 8 x^{2}$ 를 $18 x^{2}$ 에 더합니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 6 x + 2$

단계 3.3.8

$- 6 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 2$

단계 3.4

$24 x^{3}$ 를 $24 x^{3}$ 에 더합니다.

$48 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 10 x^{2} - 12 x + 2$

단계 3.5

$- 7 x^{2}$ 를 $10 x^{2}$ 에 더합니다.

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 34 x + 15 - 12 x + 2$

단계 3.6

$34 x$ 에서 $12 x$ 을 뺍니다.

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 22 x + 15 + 2$

단계 3.7

$15$ 를 $2$ 에 더합니다.

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 22 x + 17$