미적분 예제

$f (x) = {(x^{2} + 6 x - 7)}^{2}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 6 x - 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 6 x - 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 6 x - 7$ 로 바꿉니다.

$2 (x^{2} + 6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 6 x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 2.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 2.5

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 2.6

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + 0)$

단계 2.7

$2 x + 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

단계 3.2

항을 묶습니다.

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단계 3.2.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(2 x^{2} + 12 x + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

단계 3.2.2

$2$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$

단계 3.3

$(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$

단계 3.4

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$ 를 전개합니다.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

단계 3.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

단계 3.5.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

단계 3.5.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

단계 3.5.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

단계 3.5.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

단계 3.5.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

단계 3.5.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x \cdot x + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

단계 3.5.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

단계 3.5.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

단계 3.5.6

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

단계 3.5.7

$- 14$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

단계 3.5.8

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

단계 3.5.9

$12$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x + 6 \cdot - 14$

단계 3.5.10

$6$ 에 $- 14$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x - 84$

단계 3.6

$24 x^{2}$ 를 $12 x^{2}$ 에 더합니다.

$4 x^{3} + 36 x^{2} - 28 x + 72 x - 84$

단계 3.7

$- 28 x$ 를 $72 x$ 에 더합니다.

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 44 x - 84$